Мазмун

• Алдын ала маалымат
• Кадамдар
• 3төн 1 бөлүк: Негиздери
• 3 -бөлүктүн 2 -бөлүгү: Лаплас трансформациясынын касиеттери
• 3 -жылдын 3 -бөлүгү: Лаплас трансформациясын сериялык кеңейтүү аркылуу табуу

Лаплас трансформациясы - туруктуу коэффициенттери бар дифференциалдык теңдемелерди чыгаруу үчүн колдонулуучу интегралдык трансформация. Бул трансформация физика менен инженерияда кеңири колдонулат.

Тиешелүү таблицаларды колдоно алсаңыз да, керек болсо өзүңүз жасай ала тургандай Лапластын өзгөрүшүн түшүнүү пайдалуу.

Алдын ала маалымат

• Функция берилген ${ Displaystyle f (t)}$үчүн аныкталган ${ Displaystyle t geq 0.}$ Анан Лаплас трансформациясы функция ${ Displaystyle f (t)}$ ар бир маанинин кийинки функциясы ${ Displaystyle s}$, мында интеграл жакындашат:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Лаплас трансформациясы t-регионунан (убакыт шкаласы) s-регионуна (трансформация аймагы) чейинки функцияны алат, мында ${ Displaystyle F (s)}$ татаал өзгөрмөнүн татаал функциясы. Бул функцияны чечүүнү оңой табууга мүмкүн болгон аймакка жылдырууга мүмкүндүк берет.
• Албетте, Лаплас трансформациясы сызыктуу оператор, ошондуктан биз терминдердин суммасы менен алектенсек, ар бир интегралды өзүнчө эсептесе болот.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Лаплас трансформациясы интеграл жакындаганда гана иштээрин унутпаңыз. Эгерде функция ${ Displaystyle f (t)}$ үзгүлтүктөр бар, белгисиздикти болтурбоо үчүн этият болуу жана интеграция чектерин туура белгилөө керек.

Кадамдар

3төн 1 бөлүк: Негиздери

1. 1 Функцияны Лапластын формуласына алмаштырыңыз. Теориялык жактан алганда, функциянын Лаплас трансформациясын эсептөө абдан оңой. Мисал катары, функцияны карап көрөлү ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, кайда ${ Displaystyle a}$ менен комплекстүү туруктуу болуп саналат ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Жеткиликтүү ыкмаларды колдонуу менен интегралды баалаңыз. Биздин мисалда, баа абдан жөнөкөй жана сиз жөнөкөй эсептөөлөр менен ала аласыз. Татаал учурларда татаал методдор талап кылынышы мүмкүн, мисалы, бөлүктөр боюнча интегралдоо же интегралдык белгинин астындагы дифференциация. Чектөө шарты ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ интеграл жакындашат дегенди билдирет, башкача айтканда анын мааниси 0ге жакын ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {тегизделген}}}$
   • Белгилей кетчү нерсе, бул бизге Лапластын эки түрүн берет, синус жана косинус менен, анткени Эйлердин формуласы боюнча ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Бул учурда, бөлгүчтө биз алабыз ${ Displaystyle s-ia,}$ жана чыныгы жана элестүү бөлүктөрдү аныктоо үчүн гана калат. Сиз ошондой эле түздөн -түз жыйынтыгын бааласа болот, бирок бул бир аз көбүрөөк убакытты талап кылат.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Күч функциясынын Лаплас трансформациясын карап көрөлү. Биринчиден, сиз күч функциясынын трансформациясын аныкташыңыз керек, анткени сызыктуу касиет сиз үчүн трансформацияны табууга мүмкүндүк берет. баарынан полиномдор. Форманын функциясы ${ displaystyle t ^ {n},}$ кайда ${ Displaystyle n}$ - каалаган оң сан. Рекурсивдүү эрежени аныктоо үчүн бөлүк -бөлүккө бириктирилиши мүмкүн.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Бул жыйынтык жашыруун түрдө көрсөтүлөт, бирок эгер сиз бир нече баалуулуктарды алмаштырсаңыз ${ Displaystyle n,}$ белгилүү бир үлгү орното аласыз (муну өзүңүз жасоого аракет кылыңыз), бул төмөнкү натыйжаны алууга мүмкүндүк берет:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Сиз ошондой эле гамма функциясын колдонуп, фракциялык күчтөрдүн Лаплас трансформациясын аныктай аласыз. Мисалы, ушундай жол менен сиз функциянын трансформациясын таба аласыз ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Гамма (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Гамма (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Бөлчөк ыйгарым укуктары бар функциялар кыскарышы керек болсо да (эстен чыгарбаңыз, ар кандай татаал сандар ${ Displaystyle z}$ жана ${ Displaystyle alpha}$ катары жазса болот ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, Себеби ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), алар ар дайым кесимдер сол жарым тегиздикте жаткандай аныкталышы мүмкүн жана аналитикалык көйгөйлөрдөн алыс болушат.

3 -бөлүктүн 2 -бөлүгү: Лаплас трансформациясынын касиеттери

1. 1 Функциянын Лапласка көбөйтүлүшүн табалы дат{ Displaystyle e ^ {at}}. Мурунку бөлүмдө алынган жыйынтыктар Лаплас трансформациясынын кээ бир кызыктуу касиеттерин билүүгө мүмкүндүк берди. Косинус, синус жана экспоненциалдык функция сыяктуу функциялардын Лаплас трансформациясы күч функциясына караганда жөнөкөй окшойт. Көбөйтүү ${ Displaystyle e ^ {at}}$ т-регионуна туура келет жылыш s-региондо:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Бул касиет дароо функциялардын трансформациясын табууга мүмкүндүк берет ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, интегралды эсептебестен:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Функциянын Лапласка көбөйтүлүшүн табалы тп{ displaystyle t ^ {n}}. Биринчиден, көбөйтүүнү карап көрөлү ${ Displaystyle t}$... Аныктама боюнча, интегралдын астындагы функцияны айырмалоого жана таң калыштуу жөнөкөй натыйжага жетүүгө болот:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Бул операцияны кайталап, акыркы жыйынтыкты алабыз:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Интеграция жана дифференциация операторлорунун кайра түзүлүшү кандайдыр бир кошумча негиздөөнү талап кылса да, биз аны бул жерде көрсөтпөйбүз, бирок, эгерде акыркы жыйынтык мааниге ээ болсо, бул операция туура экенин белгилейбиз. Сиз ошондой эле өзгөрмөлөр экенин эске алсаңыз болот ${ Displaystyle s}$ жана ${ Displaystyle t}$ бири -бирине көз каранды эмес.
   • Бул эрежени колдонуп, сыяктуу функциялардын трансформациясын табуу оңой ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, бөлүктөр боюнча кайра интеграцияланбастан:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Функциянын Лаплас трансформациясын табыңыз f(ат){ Displaystyle f (at)}. Трансформациянын аныктамасын колдонуп, өзгөрмөнү u менен алмаштыруу менен оңой эле жасаса болот:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F солго ({ frac {s} {a}} оң) аягы {тегизделген}}}$
   • Жогоруда биз Лаплас функцияларынын трансформациясын таптык ${ Displaystyle sin at}$ жана ${ Displaystyle cos at}$ түздөн -түз экспоненциалдык функциядан. Бул мүлктү колдонуп, чыныгы жана элестүү бөлүктөрдү тапсаңыз, ошол эле натыйжага жете аласыз ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Туундун Лаплас трансформациясын табыңыз f′(т){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Мурунку мисалдардан айырмаланып, бул учурда жасашым керек бөлүккө бөлүү:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Экинчи туунду көптөгөн физикалык проблемаларда кездешкендиктен, биз да Лапластын трансформациясын табабыз:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Жалпы учурда, n -даражадагы туундун Лаплас трансформациясы төмөнкүдөй аныкталат (бул Лаплас трансформациясын колдонуу менен дифференциалдык теңдемелерди чечүүгө мүмкүндүк берет):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 -жылдын 3 -бөлүгү: Лаплас трансформациясын сериялык кеңейтүү аркылуу табуу

1. 1 Мезгилдик функция үчүн Лаплас трансформациясын табалы. Мезгилдик функция шартты канааттандырат ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ кайда ${ Displaystyle T}$ функциянын мезгили болуп саналат жана ${ Displaystyle n}$ оң бүтүн сан. Мезгилдик функциялар сигналдарды иштетүү жана электротехниканы камтыган көптөгөн колдонмолордо кеңири колдонулат. Жөнөкөй өзгөртүүлөрдү колдонуп, биз төмөнкү натыйжаны алабыз:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { тегизделген}}}$
   • Көрүнүп тургандай, мезгилдик функция болгон учурда, бир мезгил ичинде Лаплас трансформациясын аткаруу жетиштүү.
2. 2 Табигый логарифм үчүн Лаплас трансформациясын аткарыңыз. Мында интегралды элементардык функциялар түрүндө билдирүүгө болбойт. Гамма функциясын колдонуу жана анын катардык кеңейиши табигый логарифмди жана анын даражаларын баалоого мүмкүндүк берет. Эйлер-Маскерони константасынын болушу ${ Displaystyle gamma}$ Бул интегралды баалоо үчүн сериялык кеңейтүүнү колдонуу керек экенин көрсөтүп турат.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Нормаланбаган шын функциясынын Лаплас трансформациясын карап көрөлү. Функция ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ сигналды иштетүү үчүн кеңири колдонулат, дифференциалдык теңдемелерде ал биринчи түрдөгү сфералык Бессел функциясына барабар жана нөл тартибинде ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ Бул функциянын Лаплас трансформациясын да стандарттык методдор менен эсептөө мүмкүн эмес. Бул учурда күч функциялары болгон катардын айрым мүчөлөрүнүн трансформациясы ишке ашырылат, ошондуктан алардын трансформациялары сөзсүз түрдө берилген интервалга жакындашат.
   • Биринчиден, биз Тейлор сериясындагы функциянын кеңейишин жазабыз:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Эми биз буга чейин белгилүү болгон Лаплас кубаттуулук функциясын колдонобуз. Факторийлер жокко чыгарылат, натыйжада биз арктенгент үчүн Тейлордун кеңейүүсүн алабыз, башкача айтканда, синус үчүн Тейлор сериясына окшош, бирок факториалдуу эмес:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$