Мазмун

• Басуу
• 3-бөлүктүн 1-бөлүгү: Анализдин негиздери
• 3-бөлүктүн 2-бөлүгү: Туундуларды түшүнүү
• 3-бөлүктүн 3-бөлүгү: Интегралдарды түшүнүү
• Сунуштар

Анализ (ошондой эле эсептөө деп аталат) - математиканын чектерге, функцияларга, туундуларга, интегралдарга жана чексиз катарларга багытталган бир бөлүгү. Бул тема көптөгөн математиканы камтыйт жана физикада жана механикада колдонулган көптөгөн формулалар менен теңдемелердин негизин түзөт. Анализди туура түшүнүү үчүн орто мектепте бир нече жыл математика сабагынан өтүшүңүз керек болушу мүмкүн, бирок бул макала негизги түшүнүктөрдү таанып, теорияны жакшыраак түшүнүүгө үйрөнө баштайт.

Басуу

3-бөлүктүн 1-бөлүгү: Анализдин негиздери

1. Анализ - бул нерселердин өзгөрүлүшүн изилдөө. Анализ - бул адатта реалдуу маалыматтардан алынган сандарды жана графиктерди текшерип, алардын кандайча өзгөрөрүн түшүндүрүүчү математиканын бөлүмү. Башында бул анчалык деле пайдалуу эместей сезилгени менен, анализ математиканын эң көп колдонулган тармактарынын бири. Сиздин бизнесиңиздин каалаган убакта канчалык тез өсүп жаткандыгын, же космостук кеменин жүрүшү кандайча түзүлгөндүгүн жана анын күйүүчү майы канчалык тез сарпталып жаткандыгын айтып бере турган куралдары бар экендигин элестетип көрсөңүз. Анализ инженерия, экономика, статистика, химия жана физиканын маанилүү куралы болуп саналат жана көптөгөн ойлоп табууларга жана ачылыштарга салым кошкон.
2. Функциялар - бул эки сандын ортосундагы байланыш жана картадагы мамилелерди түзүү үчүн колдонулат. Алар сандардын өз ара байланышынын эрежелери жана математиктер аларды график түзүүдө колдонушат. Функцияда ар бир киргизүү так бир натыйжага ээ. Мисалы: in ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Чексиздик түшүнүгү жөнүндө ойлонуп көрсөңүз. Чексиздик - бул процесстин тынымсыз кайталанышы. Бул белгилүү бир жер эмес (чексиздикке бара албайсың), тескерисинче, түбөлүккө жасала турган болсо, бир сан же теңдеменин жүрүм-туруму. Бул өзгөрүүнү изилдөө үчүн абдан маанилүү: сиз каалаган убакта унааңыздын ылдамдыгын билгиңиз келиши мүмкүн, бирок азыркы секунда ичинде сиздин унааңыздын ылдамдыгы ушунчалыкпы? Миллисекундубу? Nanosecond? Убакыттын чексиз кичинекей бөлүктөрүн дагы такыраак табууга болот, ошондо анализ келип чыгат.
3. Чектер түшүнүгүн түшүнүү. Чексиздик бир нерсе чексиздикке жакындаганда эмне болоорун билдирет. 1 санын алып, аны 2ге бөлүңүз, улам-улам экиге бөлүп туруңуз. 1 1/2, андан кийин 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ж.б. болуп калат. Сандар барган сайын кичирейип, нөлгө "жакындап" баратат. Бирок ал кайда токтойт? Нөлдү алуу үчүн 1ди 2ге канча жолу бөлүшүң керек? Бул суроого жооп берүүнүн ордуна, анализдеңиз чек Бул учурда, чеги болуп саналат.
   • Чектерди графикте элестетүү оңой - мисалы, граф дээрлик тийип, бирок эч качан жетпей турган чекиттер барбы?
   • Чектер саны болушу мүмкүн, чексиз же ал тургай жок. Мисалы, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... кошуу тизмеги менен, ал чексиз улана берет, акыркы сан чексиз чоң болот. Андан кийин чек чексиз болуп калат.
4. Математикалык алгебра, тригонометрия жана математиканын негизги түшүнүктөрүн карап чыгыңыз. Анализ буга чейин үйрөнгөн математиканын көбүнө таянат. Бардык темалар жөнүндө жакшы маалымат алуу анализди үйрөнүүнү жана түшүнүүнү бир кыйла жеңилдетет. Кыска темалар:
   • Алгебра. Сиз ар кандай процесстерди түшүнүп, бир нече өзгөрүлмө менен теңдемелерди жана теңдемелер системаларын чече билишиңиз керек. Коллекциялардын негиздерин түшүнүү. Графиктерди түзүүгө машыгыңыз.
   • Геометрия. Геометрия - бул фигураларды изилдөөчү илим. Сиз үч бурчтуктар, тик бурчтар жана тегерекчелер жөнүндө, ошондой эле периметр жана аймак сыяктуу нерселерди эсептөө боюнча негизги билимге ээ болуңуз. Бурчтарды, сызыктарды жана координаттарды түшүнүү
   • Тригонометрия. Тригонометрия - тегерек жана үч бурчтуктун касиеттерин караган математиканын бөлүмү. Тригонометриялык идентификацияны, графикти, функцияны жана тескери тригонометриялык функцияны колдонууну билүү.
5. Графикалык эсептегич сатып алыңыз. Эмне кылып жатканыңызды көрбөй туруп, анализди түшүнүү оңой эмес. Графикалык эсептегичтер функцияларды визуалдык кылып, сиз кандай теңдемелер менен иштешип жатканыңызды жакшыраак түшүнүп алсаңыз болот. Көбүнчө экранда чектер көрсөтүлүп, туундулар жана функциялар автоматтык түрдө эсептелет.
   • Бүгүнкү күндө көптөгөн смартфондор жана планшеттер графикалык калькуляторду каалабасаңыз же сатып ала албасаңыз, арзан, бирок натыйжалуу графикалык колдонмолорду сунушташат.

3-бөлүктүн 2-бөлүгү: Туундуларды түшүнүү

1. Анализ "белгилүү бир учурдагы өзгөрүүнү" изилдөө үчүн колдонулат. Эмне үчүн так бир учурда бир нерсе өзгөрөрүн билүү - талдоонун өзөгү. Мисалы, анализ сизге унаанын ылдамдыгын гана эмес, анын ылдамдыгы каалаган убакта канчалык өзгөрүп турарын да берет. Бул анализди жөнөкөй колдонуунун бири, бирок абдан маанилүү. Мындай маалымат Айга космос кемесин жеткирүү ылдамдыгын аныктоодо канчалык маанилүү экендигин элестетип көрсөңүз!
   • Убакыттын белгилүү бир мезгилиндеги өзгөрүүнү аныктоо бар айырмалоо. Дифференциация - анализдин эки чоң тармагынын биринчиси.
2. Берилген убакытта нерселер кандайча өзгөрөрүн түшүнүү үчүн туундуларды колдонуңуз. "Туунду" - бул студенттерге көп учурда нервди пайда кылган жакшы сөз. Бирок, түшүнүктүн өзүн түшүнүү анчалык деле кыйын эмес - бул "бир нерсе канчалык тез өзгөрөт" дегенди билдирет. Күнүмдүк жашоодо көп кездешүүчү туундулар ылдамдык менен байланыштуу. Бирок, адатта, сиз аны "ылдамдыктын туундусу" деп атабайсыз, жөн гана "ылдамдануу" деп коесуз.
   • Акселерация туунду - бул бир нерсенин канчалык тез ылдамдап же жайлап, же анын ылдамдыгы кандайча өзгөрүп жаткандыгын билдирет.
3. Өзгөрүү ылдамдыгы эки чекиттин ортосундагы жантаймага барабар экендигин билиңиз. Бул анализдин маанилүү ачылыштарынын бири. Эки чекиттин ортосундагы өзгөрүү ылдамдыгы ошол эки чекиттин ортосундагы сызыктын жантаймасына барабар. Жөнөкөй сызыкты, мисалы, теңдемени ойлоп көрсөңүз болот ${ displaystyle y = 3x.}$Ийилген сызыктардын жантайышын аныктай алаарыңызды билиңиз. Түз сызыктын жантаймагын аныктоо салыштырмалуу оңой: канчалык өзгөрөт ${ displaystyle y}$Эгер өзгөрүүнү такыраак эсептөөнү кааласаңыз, упайлар бири-бирине жакыныраак экендигин текшериңиз. Эки пунктту канчалык жакын тандасаңыз, жообуңуз ошончолук так болот. Акселераторду басканда унааңыз канчага чейин ылдамдайт деп билгиңиз келет дейли. Сиз үйүңүз менен супермаркеттин ортосундагы ылдамдыктын өзгөрүшүн өлчөөнү каалабайсыз, бирок акселераторго урунган учурдан баштап ылдамдыктын өзгөрүшү. Окууңуз ошол секундага жакындаган сайын, өзгөрүүнү так эсептейсиз.
   • Мисалы, илимпоздор айрым түрлөрдү сактап калуу үчүн алардын канчалык тез жок болуп кетишин иликтеп жатышат. Бирок, жай мезгилине караганда кыш мезгилинде көп жаныбарлар өлөт, ошондуктан жыл бою өзгөрүүлөрдүн ылдамдыгын изилдөө пайдалуу эмес - өзгөрүүлөрдүн ылдамдыгын бир аз убакыттын ичинде, мисалы, 1-июлдан 1-августка чейин аныктаган жакшы.
4. "Чукул өзгөрүү ылдамдыгын" аныктоо үчүн чексиз кыска сызыктарды колдонуңуз же туунду табыңыз. Бул жерде талдоо көп учурда түшүнүксүз болуп калат, бирок бул эки жөнөкөй фактынын натыйжасы. Биринчиден, сиз сызыктын жантайышы ошол сызыктын канчалык тез өзгөргөнүнө барабар экендигин билесиз. Экинчиден, саптын чекиттери бири-бирине канчалык жакыныраак болсо, окуу ошончолук так болорун билесиң. Бирок жантайма эки чекиттин ортосундагы байланыш болсо, берилген чекиттеги өзгөрүү ылдамдыгын кантип табууга болот? Жооп: Бири-бирине чексиз жакын болгон эки пунктту тандайсыз.
   • 1ден 2ге бөлүп, 1/2, 1/4, 1/8 ж.б.у.с. алган мисалды карап көрөлү. Ошентип, акырында сиз нөлгө жакындадыңыз, ал эми жооп "дээрлик нөлгө" барабар. Упайлар бири-бирине ушунчалык жакын болгондуктан, "дээрлик бири-бирине барабар". Бул туундулардын табияты.
5. Ар кандай туундуларды кантип аныктоону үйрөнүңүз. Тендемеге жараша туунду табуунун ар кандай техникалары бар, бирок алардын көпчүлүгү жогоруда туундулардын негиздерин жаттап алсаңыз, мааниси бар. Бардык туундулар "чексиз аз" сызыктын жантаймагын табуунун жолу. Эми сиз туунду теория жөнүндө көбүрөөк билсеңиз, жумуштун көбү жооп издөөгө туура келет.
6. Каалаган убакта өзгөрүү ылдамдыгын болжолдоо үчүн алынган теңдемелерди табыңыз. Туунду колдонуп, каалаган убакытта өзгөрүү ылдамдыгын аныктоо пайдалуу, бирок анализдин эң сонун жери - каалаган функциянын жаңы моделин түзүүгө болот. Туунду ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Эгер сиз муну түшүнүү кыйын болсо, анда туундулардын чыныгы жашоодогу мисалдарын эсиңизден чыгарбаңыз. Эң жөнөкөй мисал ылдамдыкка негизделген, ал бизде күн сайын кездешүүчү ар кандай туундуларды камтыйт. Унутпа: туунду - бир нерсенин канчалык тез өзгөрөөрүн өлчөөчү нерсе. Жөнөкөй эксперимент жөнүндө ойлонуп көрсөңүз. Сиз мраморду столдун үстүнө тоголотуп, анын ар бир жолу канчалык алыстагандыгын жана ылдамдыгын өлчөйсүз. Эми тоголок мрамор графиктеги сызык боюнча жүрөт деп элестетип көрсөңүз - сиз ошол сызыктын каалаган убагында болгон өзгөрүүлөрдү өлчөө үчүн туундуларды колдонуп жатасыз.
   • Мрамор канчалык тез жылат? Кыймылдаган мрамордун абалы (же туундусу) кандай ылдамдыкта өзгөрөт? Биз бул туунду "ылдамдык" деп атайбыз.
   • Мраморду жантайма боюнча тоголотуп, ылдамдыктын кандайча өзгөргөнүн байкап көр. Мрамор ылдамдыгынын өзгөрүү ылдамдыгы же туундусу кандай? Бул туунду биз "ылдамдануу" деп атайбыз.
   • Мраморду толкундуу жол менен, мисалы, ролик жээгинде тоголот. Мрамор ылдый кулаганда канчалык деңгээлде ылдамдыкка ээ болот жана мрамор өйдөлүшкө канчалык жайлайт? Мрамор биринчи тоонун жарымына жеткенде канчалык ылдамдыкта кетет? Бул ошол учурдагы мрамордун бир заматта өзгөрүү ылдамдыгы же туундусу.

3-бөлүктүн 3-бөлүгү: Интегралдарды түшүнүү

1. Татаал аймактарды жана көлөмдөрдү табуу үчүн анализди колдонсоңуз болорун билиңиз. Анализдин жардамы менен өлчөө кыйын болгон татаал фигураларды өлчөөгө болот. Мисалы, узун, туура эмес формадагы көлдө канча суу бар экендигин билгиңиз келген маселени карап көрөлү - ар бир литр сууну өзүнчө өлчөө же көлдүн формасын өлчөө үчүн сызгычты колдонуу мүмкүн эмес. Анализдин жардамы менен көлдүн четтери кандайча өзгөрүп жаткандыгын изилдеп, андан кийин анын курамында канча суу бар экендигин билүү үчүн ушул маалыматты колдонсоңуз болот.
   • Геометриялык моделдерди жасоо жана көлөмдөрдү изилдөө интеграциялоо. Комплекстүү эсептөө - талдоонун экинчи маанилүү тармагы.
2. Интеграция - бул графиктин астындагы аймак. Интеграция сызыктын астындагы мейкиндикти өлчөө үчүн колдонулат, бул таң калыштуу же туура эмес фигуралардын аянтын аныктоого мүмкүндүк берет. Теңдемени ал ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Интеграциялоо үчүн аймакты тандоо керектигин билиңиз. Сиз жөн гана бүтүндөй бир функцияны бириктире албайсыз. Мисалы үчүн, ${ displaystyle y = x}$Тик бурчтуктун аянтын кантип эсептөөнү ойлонуп көрүңүз. Сыяктуу графиктин үстүндө тегиз сызык бар дейли ${ displaystyle y = 4.}$Интегралдык эсептөөдө аймактын аянтын табуу үчүн бир топ кичинекей тик бурчтуктар кошулгандыгын бил. Ийри сызыкты эбегейсиз чоңойткондо, ал түз сызык болуп көрүнөт. Муну күн сайын көрүп турасыз - жердин ийилгендигин түшүнө албайсыз, анткени жер бетине жакынсыз. Интеграция ийри сызыктын астында чексиз кичинекей тик бурчтуктарды жаратат, ушунчалык кичинекей, алар негизинен жалпак болуп, аларды санап турууга мүмкүнчүлүк берет. Кошулган ушул төрт бурчтуктардын бардыгы ийри астындагы аймактын аянтын түзөт.
   • Сиз графиктин астына көптөгөн кичинекей сегменттерди коштуңуз дейли, жана бул ар бир сегменттин туурасы дээрлик нөлгө барабар.
3. Интегралдарды туура окуп, туура жазганды билүү. Интегралдар 4 бөлүктөн турат. Кадимки интеграл төмөнкүдөй көрүнөт:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Интегралдарды табуу жөнүндө көбүрөөк билүү. Интеграция ар кандай формада болот жана ар бир функцияны интеграциялоо үчүн ар кандай формулаларды үйрөнүшүң керек. Бирок, алардын бардыгы жогоруда айтылган принциптерге карманат: интеграция - бул чексиз көп нерселердин жыйындысы.
   • Алмаштыруу жолу менен интеграциялоо.
   • Аныкталбаган интегралдарды эсептөө.
   • Бөлүшүү жолу менен бириктирүү.
4. Интеграция дифференциялоонун тескери жагы жана тескерисинче экендигин билиңиз. Бул анализдин эрежеси, ушунчалык маанилүү болгондуктан, ага өз ысмы берилген: Интегралдык эсептөөнүн Негизги Теоремасы.Интеграциялоо жана дифференциация бири-бири менен тыгыз байланышта болгондуктан, экөөнүн айкалышы аркылуу кандай маалыматыңыз болсо дагы, өзгөрүү ылдамдыгын, ылдамдануусун, ылдамдыгын, жайгашкан ордун, кыймылын ж.б.
   • Мисалы, ылдамдыктын туундусу ылдамдануу экендигин унутпаңыз, ошондуктан ылдамданып, ылдамданууну табууга болот. Бирок сиз бир нерсенин ылдамдануусун гана билсеңиз (мисалы, жердин тартылуу күчүнөн улам кулап түшүүчү нерселер), анда ылдамдыкты калыбына келтирүү үчүн интеграциялансаңыз болот!
5. Интеграция менен 3D объектилеринин көлөмүн башкара алаарыңызды билиңиз. Жалпак фигураны айландыруу - бул 3D катуу нерселерди түзүүнүн бир жолу. Элестетип көрүңүз, стол үстүндө бир тыйын айланып жатат - айланганда тыйындын шар формасын алганын байкаңыз. Бул түшүнүк көлөмдү "айлануу менен көлөм" деп аталган процесстин негизинде аныктоого мүмкүндүк берет.
   • Бул кандайдыр бир катуу нерсенин көлөмүн, аны чагылдырган функцияны аткарганга чейин аныктоого мүмкүндүк берет. Мисалы, көлдүн түбүн байкаган функцияны түзүп, андан кийин көлдүн көлөмүн, же анын курамында канча суу бар экендигин аныктай аласыз.

Сунуштар

• Практика мыкты болот, ошондуктан окуу китебиңиздеги машыгуу көнүгүүлөрүн, ал тургай мугалимиңиз бербеген нерселерди да жасаңыз жана түшүнүктөрдү жакшыраак түшүнүүгө жардам берүү үчүн жоопторуңузду текшериңиз.
• Эгер чечим таба албасаңыз, мугалимден сураңыз.