Мазмун

• Кадамдар
• 3төн 1 бөлүк: факторинг биномиалдары
• 3төн 2 бөлүк: Теңдемелерди чечүү үчүн факторинг биномиалдары
• 3 -жылдын 3 -бөлүгү: Татаал маселелерди чечүү
• Кеңештер
• Эскертүүлөр

Биномия (биномиалдык) - бул эки термин менен математикалык туюнтуу, анын ортосунда плюс же минус белгиси бар, ${ Displaystyle ax + b}$... Биринчи мүчө өзгөрмөнү камтыйт, экинчиси аны камтыйт же камтыбайт. Биномиалды факторингге чыгаруу, жөнөкөйлөтүү үчүн көбөйтүлгөндө баштапкы биномиалды чыгаруучу терминдерди табууну камтыйт.

Кадамдар

3төн 1 бөлүк: факторинг биномиалдары

1. 1 Факторинг процессинин негиздерин түшүнүңүз. Биномиалды факторинг кылууда, баштапкы биномиянын ар бир мүчөсүнүн бөлүүчүсү болгон фактор кронштейнден чыгарылат. Мисалы, 6 саны толугу менен 1, 2, 3, 6га бөлүнөт. Ошентип, 6 санынын бөлүүчүсү 1, 2, 3, 6 сандары.
   • Бөлүүчү 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Кандайдыр бир сандын бөлгүчтөрү 1 жана сандын өзү. Мисалы, 3кө бөлүнгөндөр 1 жана 3.
   • Бүтүн сандарды бөлгүчтөр бүтүн сандар гана болушу мүмкүн. 32 санын 3.564 же 21.4952ге бөлүүгө болот, бирок сиз бүтүн сан эмес, ондук бөлчөк аласыз.
2. 2 Факторинг процессин жеңилдетүү үчүн биномиалдын шарттарын заказ кылыңыз. Биномия - бул эки терминдин суммасы же айырмасы, алардын ичинен жок дегенде бирөө өзгөрмөнү камтыйт. Кээде өзгөрмөлөр күчкө көтөрүлөт, мисалы, ${ Displaystyle x ^ {2}}$ же ${ Displaystyle 5y ^ {4}}$... Биномдун шарттарын экспоненттердин өсүү тартибинде заказ кылуу жакшыраак, башкача айтканда, эң кичине көрсөткүчү бар термин биринчи, эң чоңу менен акыркы жазылат. Мисалы:
   • ${ Displaystyle 3t + 6}$ → ${ Displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ Displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • 2 алдындагы минус белгисине көңүл буруңуз. Эгерде термин алынып салынса, анын алдына минус белгисин жазыңыз.
3. 3 Эки терминдин эң чоң жалпы бөлүүчүсүн (GCD) табыңыз. GCD - биномдун эки мүчөсү тең бөлүнүүчү эң чоң саны. Бул үчүн, биномиядагы ар бир мүчөнүн бөлүүчүсүн таап, анан эң чоң жалпы бөлгүчтү тандаңыз. Мисалы:
   • Тапшырма:${ Displaystyle 3t + 6}$.
     • Бөлүүчү 3: 1, 3
     • Бөлүүчү 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Ар бир терминди биномиядагы эң чоң жалпы бөлүүчүгө (GCD) бөлүңүз. GCDди жок кылуу үчүн муну жасаңыз. Белгилей кетсек, биномиянын ар бир мүчөсү азаят (анткени ал бөлүнүүчү), бирок эгер GCD кашаанын ичинен алынып салынса, акыркы туюнтма түпнускага барабар болот.
   • Тапшырма:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD табыңыз: 3
   • Ар бир биномдук терминди gcdге бөлүңүз:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Бөлүүчүдү кашаанын сыртына жылдырыңыз. Буга чейин, биномдун эки мүчөсүн 3 -бөлүүчүгө бөлүп, алдыңыз ${ Displaystyle t + 2}$... Бирок сиз 3төн кутула албайсыз - баштапкы жана акыркы сөз айкаштарынын мааниси бирдей болушу үчүн, кашаанын сыртына 3 коюп, кашаанын ичинде бөлүнүүнүн натыйжасында алынган сөз айкашын жазышыңыз керек. Мисалы:
   • Тапшырма:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD табыңыз: 3
   • Ар бир биномдук терминди gcdге бөлүңүз:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Бөлүүчүсүн алынган сөз айкашына көбөйтүңүз:${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Жооп: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Жообуңузду текшериңиз. Бул үчүн кашаанын алдындагы терминди кашаанын ичиндеги ар бир мүчөгө көбөйтүңүз. Эгерде сиз баштапкы биномиалды алсаңыз, анда чечим туура. Эми маселени чеч ${ Displaystyle 12t + 18}$:
   • Мүчөлөргө буйрук бериңиз:${ Displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD табыңыз:${ Displaystyle 6}$
   • Ар бир биномдук терминди gcdге бөлүңүз:${ Displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Бөлүүчүсүн алынган сөз айкашына көбөйтүңүз:${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Жоопту текшериңиз:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

3төн 2 бөлүк: Теңдемелерди чечүү үчүн факторинг биномиалдары

1. 1 Биномиалды жөнөкөйлөтүү жана теңдемени чечүү үчүн фактор. Бир караганда, кээ бир теңдемелерди (айрыкча татаал биномиалдуу) чечүү мүмкүн эместей сезилет. Мисалы, теңдемени чечиңиз ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Бул теңдемеде ыйгарым укуктар бар, андыктан биринчи сөз айкашын эске алыңыз.
   • Тапшырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Бир биномиалдын эки мүчөсү бар экенин унутпаңыз. Эгерде сөз көбүрөөк терминдерди камтыса, полиномдорду чечүүнү үйрөнүңүз.
2. 2 Теңдеменин эки жагына бир мономиалды кошуңуз же алып салыңыз, ошондо нөл теңдеменин бир жагында калат. Факторизацияда теңдемелердин чечими нөлгө көбөйтүлгөн ар кандай сөз нөлгө барабар экендигине негизделет. Демек, эгерде теңдемени нөлгө теңесек, анда анын факторлорунун бири нөлгө барабар болушу керек. Теңдеменин бир тарабын 0гө коюңуз.
   • Тапшырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Нөлгө коюу:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Алынган урнага фактор. Муну мурунку бөлүмдө сүрөттөлгөндөй кылыңыз. Эң чоң жалпы факторду (GCD) табыңыз, биномдун эки мүчөсүн тең ага бөлүп, анан факторду кашаанын сыртына жылдырыңыз.
   • Тапшырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Нөлгө коюу:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Фактор:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Ар бир факторду нөлгө коюңуз. Жыйынтыгында 2y 4 - y менен көбөйтүлөт жана бул продукт нөлгө барабар. Нөлгө көбөйтүлгөн кандайдыр бир сөз (же термин) нөлгө барабар болгондуктан, анда 2y же 4 - y 0 болот. "Y" табуу үчүн алынган мономиалдык жана биномиалдык нөлгө коюңуз.
   • Тапшырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Нөлгө коюу:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Фактор:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Эки факторду тең 0го коюңуз:
     • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Акыркы жоопту (же жоопторду) табуу үчүн алынган теңдемелерди чечиңиз. Ар бир фактор нөлгө барабар болгондуктан, теңдеменин бир нече чечимдери болушу мүмкүн. Биздин мисалда:
   • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Жообуңузду текшериңиз. Бул үчүн табылган баалуулуктарды оригиналдуу теңдемеге алмаштырыңыз. Эгерде теңдик чын болсо, анда чечим туура. Табылган баалуулуктарды "y" ордуна алмаштырыңыз. Биздин мисалда, y = 0 жана y = 4:
   • ${ Displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ Displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ Displaystyle 0 = 0}$Бул туура чечим
   • ${ Displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ Displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ Displaystyle -12 = -12}$Жана бул туура чечим

3 -жылдын 3 -бөлүгү: Татаал маселелерди чечүү

1. 1 Эсиңизде болсун, өзгөрмөсү бар терминди факторизациялоого болот, өзгөрмө күчкө көтөрүлсө дагы. Факторинг жүргүзүүдө биномиянын ар бир мүчөсүн интегралдык түрдө бөлүүчү мономиалды табуу керек. Мисалы, мономиалдык ${ Displaystyle x ^ {4}}$ факторлоштурууга болот ${ Displaystyle x * x * x * x}$... Башкача айтканда, эгер биномиянын экинчи мөөнөтү "x" өзгөрмөсүн камтыса, анда "x" кашаадан чыгарылышы мүмкүн. Ошентип, өзгөрмөлөрдү бүтүн сандар катары караңыз. Мисалы:
   • Биномиянын эки мүчөсү ${ Displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "t" камтыйт, ошондуктан "t" кашаанын ичинен алынышы мүмкүн: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
   • Ошондой эле, күчкө көтөрүлгөн өзгөрмөнү кронштейнден алып салса болот. Мисалы, биномиалдын эки мүчөсү ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ камтыйт ${ Displaystyle x ^ {2}}$, ошентип ${ Displaystyle x ^ {2}}$ кашаанын ичинен чыгарылышы мүмкүн: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Биномиалды алуу үчүн окшош терминдерди кошуңуз же кемиңиз. Мисалы, берилген сөз ${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Бир караганда, бул көп мүчө, бирок чындыгында бул сөздү биномго айландырса болот. Окшош терминдерди кошуңуз: 6 жана 14 (өзгөрмөнү камтыбайт), жана 2x жана 3x (ошол эле "x" өзгөрмөсүн камтыйт). Бул учурда факторинг процесси жөнөкөйлөштүрүлөт:
   • Оригиналдуу сөз айкашы:${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Мүчөлөргө буйрук бериңиз:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Окшош терминдерди кошуңуз:${ Displaystyle 5x + 20}$
   • GCD табыңыз:${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Фактор:${ Displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Кемчиликсиз квадраттардын айырмасы. Мыкты квадрат - бул квадрат тамыры бүтүн сан болгон сан ${ Displaystyle 9}$${ Displaystyle (3 * 3)}$, ${ Displaystyle x ^ {2}}$${ Displaystyle (x * x)}$ ал тургай ${ Displaystyle 144t ^ {2}}$${ Displaystyle (12t * 12t)}$... Эгерде биномия кемчиликсиз квадраттардын айырмасы болсо, мисалы, ${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, анда ал формула боюнча факторлоштурулат:
   • Квадраттардын формуласынын айырмасы:${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Тапшырма:${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Квадрат тамырларын бөлүп алыңыз:
     • ${ Displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Табылган баалуулуктарды формулага алмаштырыңыз: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Толук кубдордун ортосундагы айырмачылык. Эгерде биномия толук кубдардын айырмасы болсо, мисалы, ${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, анда ал атайын формуланын жардамы менен факторизацияланат. Бул учурда, биномиянын ар бир мүчөсүнөн кубдун тамырын алуу жана табылган баалуулуктарды формулага алмаштыруу зарыл.
   • Кубдордун ортосундагы айырмачылыктын формуласы:${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Тапшырма:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Куб тамырын алуу:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Табылган баалуулуктарды формулага алмаштырыңыз: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Толук кубиктердин суммасын факторлоштуруу. Мыкты квадраттардын суммасынан айырмаланып, толук кубдордун суммасы, мисалы, ${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, атайын формуланын жардамы менен факторлоштурулушу мүмкүн. Бул кубдордун ортосундагы айырмачылыктын формуласына окшош, бирок белгилери тескери. Формула абдан жөнөкөй - аны колдонуу үчүн, маселенин толук кубдарынын суммасын табыңыз.
   • Кубдардын суммасынын формуласы:${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Тапшырма:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Куб тамырын алуу:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Табылган баалуулуктарды формулага алмаштырыңыз: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Кеңештер

• Кээде биномдук мүчөлөрдүн жалпы бөлүүчүсү жок. Кээ бир тапшырмаларда мүчөлөр жөнөкөйлөтүлгөн түрдө берилет.
• Эгерде сиз дароо GCD таба албасаңыз, анда кичине сандарга бөлүүдөн баштаңыз. Мисалы, эгерде 32 жана 16 сандарынын ГКДсы 16 экенин көрбөсөңүз, анда эки санын тең 2ге бөлүңүз. Сиз 16 жана 8 аласыз; бул сандарды 8ге бөлүүгө болот. Эми сиз 2 жана 1 аласыз; бул сандарды азайтууга болбойт. Ошентип, чоңураак сан бар экени көрүнүп турат (8 жана 2ге салыштырмалуу), бул берилген эки сандын жалпы бөлүүчүсү.
• Эске алыңыз, алтынчы даражадагы шарттар (мисалы, 6 экспоненти менен, мисалы, х) экөө тең кемчиликсиз квадраттар жана кемчиликсиз кубалар. Ошентип, алтынчы ирет шарттары бар биномиалдарга, мисалы, x - 64, квадраттардын айырмасы жана кубдардын айырмасы үчүн формулаларды (каалаган тартипте) колдонууга болот. Бирок бином менен туура ажыроо үчүн адегенде квадраттардын айырмасынын формуласын колдонуу жакшы.

Эскертүүлөр

• Кемчиликсиз квадраттардын суммасы болгон биномияны факторлоштурууга болбойт.