Мазмун

• Басуу
• 3-ыкманын 1-ыкмасы: Алмаштыруу ыкмасын колдонуу
• 3-ыкманын 2-ыкмасы: Жок кылуу ыкмасын колдонуу
• 3төн 3-ыкма: Теңдемелерди графикке түшүрүңүз
• Сунуштар
• Эскертүүлөр

"Теңдемелер тутумунда" бир эле учурда эки же андан ашык теңдемелерди чечүү сунушталат. Бул экөө ар кандай өзгөрүлмөлөрдү камтыса, мисалы, х жана у, же а жана б, аларды кандайча чечүү керектигин бир караганда кыйынга турушу мүмкүн. Бактыга жараша, эмне кылуу керектигин билгенден кийин, көйгөйдү чечүү үчүн бир нече негизги математикалык көндүмдөргө (кээде кээ бир бөлүкчөлөргө болгон билимге) гана муктаж. Эгер талап кылынса, же сиз визуалдык студент болсоңуз, анда теңдемелерди кантип графикке келтирүүнү үйрөнүңүз. Графикти графикке тартуу (схема түзүү) "эмне болуп жаткандыгын көрүү", же ишиңизди текшерүү үчүн пайдалуу болушу мүмкүн, бирок ал башка ыкмаларга караганда жайыраак болушу мүмкүн жана бардык теңдемелер тутумдарында иштебейт.

Басуу

3-ыкманын 1-ыкмасы: Алмаштыруу ыкмасын колдонуу

1. Өзгөрмөлөрдү теңдеменин ар кайсы тарабына жылдырыңыз. Бул "алмаштыруу" ыкмасы теңдемелердин бириндеги "х үчүн чечим" (же башка өзгөрмө) менен башталат. Мисалы, бизде төмөнкү теңдемелер бар: 4x + 2y = 8 жана 5x + 3x = 9. Баарынан мурун, биз биринчи салыштыруу карап. Ар бир тараптан 2y алып салуу менен, кайрадан түзсөңүз, төмөнкүнү аласыз: 4x = 8-2y.
   • Бул ыкма көбүнчө кийинки этапта фракцияларды колдонот. Фракциялар менен иштөөнү туура көрбөсөңүз, төмөндө жок кылуу ыкмасын колдонсоңуз болот.
2. "X" үчүн чечүү үчүн теңдеменин эки тарабын тең бөлүңүз. Теңдеменин бир тарабында x деген терминди (же сиз колдонгон кандай гана өзгөрмө болбосун) алгандан кийин, өзгөрмөнү бөлүп алуу үчүн теңдеменин эки тарабын тең бөлүңүз. Мисалы үчүн:
   • 4x = 8-2y
   • (4х) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Кайра башка теңдемеге сайыңыз. Кайтып келишиңиз керек Башкалар салыштыруу, сиз буга чейин колдонгон эмес. Ошол теңдемеде сиз чечкен өзгөрмөнү алмаштырып, бир гана өзгөрмө калтырасыз. Мисалы үчүн:
   • Сиз эми муну билесиз: x = 2 - ½y.
   • Сиз дагы эле өзгөртө элек экинчи теңдеме: 5x + 3x = 9.
   • Экинчи теңдемеде x "2 - ½y" менен алмаштырылсын: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Калган өзгөрмө үчүн чечүү. Азыр сизде бир гана өзгөрмө бар теңдеме бар. Ошол өзгөрмө үчүн жалпы алгебра техникасын колдонуңуз. Эгерде өзгөрмөлөр бири-бирин жокко чыгарса, акыркы кадамга өтүңүз. Болбосо, сиз өзгөрмөңүздүн бирине жооп аласыз:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Эгерде сиз бул кадамды түшүнбөсөңүз, анда фракцияларды кантип кошууну үйрөнүңүз. Бул ыкма менен көп учурда, бирок дайыма эле талап кылынбайт).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Жоопту башка өзгөрмө үчүн чечүү үчүн колдонуңуз. Көйгөйдү жарым жолдон бүткөндө ката кетирбеңиз. Башка өзгөрмө боюнча чечүү үчүн баштапкы теңдемелердин бирине алган жообуңузду кайрадан киргизишиңиз керек:
   • Сиз эми муну билесиз: y = -2
   • Баштапкы теңдемелердин бири: 4x + 2y = 8. (Бул кадам үчүн эки теңдемени колдонсо болот).
   • Y ордуна -2 сайыңыз: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Эки өзгөрмө бири-бирин жокко чыгарса, эмне кылуу керектигин билип алыңыз. Сиз качан x = 3y + 2 же башка теңдемеден ушул сыяктуу жоопту алсаңыз, бир гана өзгөрмө менен теңдеме алууга аракет кылып жатасыз. Кээде анын ордуна бир теңдеме келип калат жок өзгөрүлмө. Жумушуңузду эки жолу текшерип, биринчи теңдемени эмес, экинчи теңдемедеги (кайра түзүлгөн) биринчи теңдемени алмаштырыңыз. Эгер эч кандай ката кетирбегендигиңизге ишенсеңиз, төмөнкү натыйжалардын бирин аласыз:
   • Эгер сиз эч кандай өзгөрүлмө жок теңдемеге ээ болсоңуз жана ал туура эмес болсо (мис. 3 = 5), анда сизде көйгөй бар чечим жок. (Эгерде сиз теңдемелерди графикке салган болсоңуз, анда алар параллель экендигин жана эч качан кесилишпесин көрө аласыз).
   • Эгер өзгөрүлмө жок теңдеме менен бүтсөңүз, бирок алар жакшы чын (мисалы, 3 = 3), анда көйгөй бар чечимдердин чексиз саны. Эки теңдеме так бирдей. (Эгерде эки теңдеменин графигин түзсөңүз, алардын бири-бирине дал келгенин көрө аласыз).

3-ыкманын 2-ыкмасы: Жок кылуу ыкмасын колдонуу

1. Жок кылынуучу өзгөрмөнү аныктайт. Кээде теңдемелер бири-бирине кошулган замат, өзгөрүлмө менен бири-бирин "жок кылат". Мисалы, теңдемелерди жасаганда 3x + 2y = 11 жана 5x - 2y = 13 комбайндар, "+ 2y" жана "-2y" бири-бирин жокко чыгарат, бардыгы "y" мененс теңдемеден чыгарылат. Кандайдыр бир өзгөрмө ушундай жол менен жок кылынарын билүү үчүн көйгөйүңүздөгү теңдемелерди карап көрүңүз. Эгерде өзгөрмөлөрдүн бири дагы жок кылынбаса, кийинки кадамды окуп, кеңеш алыңыз.
2. Өзгөрмөнү жокко чыгаруу үчүн теңдемени көбөйтүңүз. (Эгерде өзгөрмөлөр бири-бирин жок кылган болсо, бул кадамды өткөрүп жиберүү керек). Эгерде теңдемелердеги өзгөрмөлөрдүн эч бири өзүнөн-өзү жокко чыгарылбаса, анда сиз теңдемелердин бирин өзгөртө тургандай кылып өзгөртүүгө туура келет. Мисал менен түшүнүү оңой:
   • Сизде теңдемелер тутуму бар дейли 3х - у = 3 жана -x + 2y = 4.
   • Биринчи теңдемени өзгөрүлмө болгондой кылып өзгөртөбүз ж жок кылынды. (Муну сиз дагы жасай аласыз X жаса жана ошол эле жоопту ал).
   • The - ж " биринчи теңдеме менен жок кылынышы керек + 2y Экинчи теңдемеде. Муну биз жасай алабыз - y 2ге көбөйтүү.
   • Биринчи теңдеменин эки жагын тең 2ге көбөйтүп, төмөнкүдөй кылабыз: 2 (3x - y) = 2 (3), жана ошентип 6x - 2y = 6. Эми болот - 2ж каршы жыгылып + 2y экинчи теңдемеде.
3. Эки теңдемени бириктир. Эки теңдемени айкалыштыруу үчүн, сол жана оң капталдарын бириктирип коюңуз. Эгер сиз теңдемени туура жазган болсоңуз, анда өзгөрүлмөлөрдүн бири экинчисине каршы жокко чыгарылышы керек. Акыркы кадамдагыдай теңдемелерди колдонгон мисал:
   • Сиздин теңдемелериңиз: 6x - 2y = 6 жана -x + 2y = 4.
   • Сол жактарын бириктирүү: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Оң жактарын бириктирүү: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Акыркы өзгөрмө үчүн чечүү. Айкалыштырылган теңдемени жөнөкөйлөтүп, андан соң акыркы өзгөрмө үчүн негизги алгебраны колдонуңуз. Эгерде жөнөкөйлөтүүдөн кийин өзгөрүлмө калбаса, анда ушул бөлүмдөгү акыркы кадамга өтүңүз. Болбосо, өзгөрмөлөрүңүздүн бирине жөнөкөй жооп менен бүтүшүңүз керек. Мисалы үчүн:
   • Сенде бар: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Өзгөрмөлөрдү топтогула X жана ж бири-бири менен: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Жөнөкөйлөтүү: 5x = 10
   • X үчүн чечүү: (5х) / 5 = 10/5, Демек x = 2.
5. Башка өзгөрмөлөр үчүн чечүү. Сиз бир өзгөрмө таптыңыз, бирок аягына чыга элексиз. Жоопуңузду баштапкы теңдемелердин бирине алмаштырыңыз, андыктан башка өзгөрмө үчүн чечим чыгара аласыз. Мисалы үчүн:
   • Сен аны билесиң x = 2, жана бул сиздин баштапкы теңдемелердин бири 3х - у = 3 болуп саналат.
   • X ордуна 2 сайыңыз, 3 (2) - y = 3.
   • Y теңдемесинде чечиңиз: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, ошондуктан 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Эки өзгөрмө бири-бирин жокко чыгарганда эмне кылуу керектигин билип алыңыз. Кээде эки теңдемени бириктиргенде эч кандай мааниси жок же көйгөйдү чечүүгө жардам бербеген теңдеме пайда болот. Башынан бери эки жолу текшерип, бирок ката кетирбесе, төмөнкү жооптордун бирин жазып коюңуз:
   • Эгерде сиздин бириккен теңдемеңиздин эч кандай өзгөрүлмө белгиси жок болсо жана (2 = 7 сыяктуу), анда бар чечим жок эки теңдеме үчүн тең аткарылат. (Эгерде эки теңдеменин графигин түзсөңөр, анда алар параллель жана эч качан кесилишпейт).
   • Эгерде сиздин бириккен теңдемеңизде эч кандай өзгөрүлмө жок жана туура болсо (мисалы, 0 = 0), анда бар чечимдердин чексиз саны. Эки теңдеме чындыгында окшош. (Эгерде сиз аларды графикага жайгаштырсаңыз, анда алардын бири-бири менен толук дал келип калгандыгын көрө аласыз).

3төн 3-ыкма: Теңдемелерди графикке түшүрүңүз

1. Бул ыкманы көрсөтүлгөндө гана колдонуңуз. Эгер сиз компьютерди же графикалык эсептегичти колдонбосоңуз, көптөгөн теңдемелер тутумун ушул ыкманын жардамы менен гана чечүүгө болот. Сиздин мугалимиңиз же математика боюнча окуу китебиңиз ушул ыкманы колдонууну суранышы мүмкүн, андыктан сиз сызыктар сыяктуу графикалык теңдемелерди жакшы билесиз. Ушул ыкманы колдонуп, башка ыкмалардын бири боюнча жоопторуңуздун туура же туура эместигин текшериңиз.
   • Негизги идея - эки теңдеменин графигин түзүп, алардын кесилишкен жерин аныктайсыз. Бул учурдагы х жана у маанилери теңдемелер тутумундагы х жана у маанисин берет.
2. У үчүн эки теңдемени тең чыгар. Эки теңдемени өзүнчө сактап, алгебраны колдонуп, ар бир теңдемени "y = __x + __" түрүнө өткөрүңүз. Мисалы үчүн:
   • Биринчи теңдеме: 2x + y = 5. Муну төмөнкүгө өзгөртүңүз: y = -2x + 5.
   • Экинчи теңдөө: -3x + 6y = 0. Муну деп өзгөртүңүз 6y = 3x + 0, жана жөнөкөйлөтүү y = ½x + 0.
   • Экөө тең бирдей, андан кийин бүт сызык "кесилиш чекити" болуп калат. Жазуу: чексиз чечимдер.
3. Координаттар тутумун сыз. Графикалык кагаздын бетине тигинен "у огу" жана горизонталдык "х огу" тартылсын. Түзүлүштөр кесилишкен жерден баштап, 1, 2, 3, 4 жана башкалар сандарды у огу боюнча жана кайрадан X огу боюнча белгилеңиз. У огу боюнча -1, -2 ж.б. сандарды х огу боюнча төмөн жана сол жакка белгилеңиз.
   • Эгерде сизде графикалык кагаз жок болсо, анда сызгычтын жардамы менен сандар бирдей аралыкта жайгашкандыгын текшериңиз.
   • Эгерде сиз чоң сандарды же ондук белгилерди колдонуп жатсаңыз, анда диаграмманы масштабда көрсөтүү керек болушу мүмкүн. (Мисалы, 1, 2, 3 ордуна 10, 20, 30 же 0,1, 0,2, 0,3).
4. Ар бир сызык үчүн у кесилишин сызыңыз. Сиздин формада бир теңдеме болгондон кийин y = __x + __ сызыкты у огун тосуп турган чекитти орнотуу менен, аны графиктен баштасаңыз болот. Бул ар дайым у маанисинде, ушул теңдемедеги акыркы санга барабар.
   • Мурда келтирилген мисалдарда бир сап (y = -2x + 5) у огуна 5. Башка сап (y = ½x + 0) нөл чекитинен өтөт 0. (Булар графиктеги (0.5) жана (0.0) пункттары).
   • Мүмкүн болсо, ар бир сапты ар башка түс менен көрсөтүңүз.
5. Капталдарды колдонуп, сызыктарды тартууну улантыңыз. Формада y = __x + __, x-чи саны жантаюу сызыктан. Х бир жолу көбөйтүлгөн сайын, жантайым маанисине жараша у мааниси өсөт. Бул маалыматты пайдаланып, х = 1 болгондо, ар бир сызык үчүн графиктеги чекитти табыңыз (Же болбосо, ар бир теңдеме үчүн x = 1дин ордун алмаштырып, у менен чечиңиз).
   • Биздин мисалда, сап бар y = -2x + 5 жантайышы -2. X = 1 болгондо 2-сызык ылдый түшөт ылдый x = 0. чекитинен (0.5) менен (1.3) аралыгындагы сызык кесиндигин сызыңыз.
   • Эреже y = ½x + 0жантайышы бар ½. X = 1 болгондо, сызык ½ болот өйдө x = 0. чекитинен (0,0) менен (1, ½) аралыгындагы түз сызыкты бөлүңүз.
   • Сызыктар бирдей жантайышка ээ болгондо сызыктар эч качан кесилишпейт, ошондуктан теңдемелер системасы үчүн эч кандай чечим жок. Жазуу: чечим жок.
6. Түзүлүштөрдү кескенге чейин, алардын графигин түзө бериңиз. Токтоп, графигиңизди караңыз. Эгер сызыктар бири-биринен өтүп кеткен болсо, кийинки кадамга өтүңүз. Болбосо, сиз кайсы саптардын негизинде чечим чыгарасыз:
   • Сызыктар бири-бирине карай жылган сайын, сиз ошол багытта чекиттерди тарта бересиз.
   • Эгер сызыктар бири-биринен алыстап баратса, артка кайтып, x = -1ден баштап, башка багытта чекиттерди сызыңыз.
   • Эгер сызыктар бири-бирине жакын жерде турбаса, алдыга секирип, алысыраак чекиттерди, мисалы, x = 10.
7. Жоопту сызыктардын кесилишинен табыңыз. Эки сызык кесилишкенден кийин, ошол чекиттеги х жана у маанилери маселенин чечилиши болуп саналат. Эгер сиз бактыга ээ болсоңуз, анда жооп бүтүн сан болот. Мисалы, биздин мисалдарда эки сызык кесилишет (2,1) сиздин жообуңуз ушундай x = 2 жана y = 1. Кээ бир теңдемелер тутумунда сызыктар эки бүтүн сандын ортосундагы чоңдукта кесилишет, эгерде сиздин графигиңиз өтө так болбосо, мунун кайда экендигин билүү кыйынга турат. Эгер ушундай болсо, анда мындай жоопту бере аласыз: "x 1ден 2ге чейин". Так жоопту табуу үчүн алмаштыруу же жок кылуу ыкмасын колдонсоңуз болот.

Сунуштар

• Жоопторду баштапкы теңдемелерге кайра киргизип, өз ишиңизди текшере аласыз. Эгерде теңдемелер чын болсо (мисалы, 3 = 3), анда сиздин жообуңуз туура.
• Жок кылуу ыкмасында кээде бир өзгөрүүнү жокко чыгаруу үчүн теңдемени терс санга көбөйтүүгө туура келет.

Эскертүүлөр

• Эгер сиз x сыяктуу кубат номери менен алектенсеңиз, анда бул ыкмаларды колдонууга болбойт. Ушул типтеги теңдемелер жөнүндө көбүрөөк билүү үчүн эки өзгөрмө менен квадраттык эсепке алуу боюнча колдонмо керек.