Мазмун

• Кадамдар

Тригонометриялык теңдеме "x" өзгөрмөсүнүн (же башка өзгөрмөнүн) бир же бир нече тригонометриялык функцияларын камтыйт. Тригонометриялык теңдемени чыгаруу - бул функция (лар) ды жана жалпысынан теңдемени канааттандырган "х" маанисин табуу.

• Тригонометриялык теңдемелердин чечимдери градус же радиан менен туюнтулат. Мисалдар:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 градус; x = 37.12 градус; x = 178.37 градус.

• Эскертүү: тригонометриялык функциялардын бурчтан радиандар менен жана бурчтан градус менен көрсөтүлгөн мааниси барабар. Тригонометриялык функцияларды сүрөттөө үчүн, ошондой эле негизги тригонометриялык теңдемелердин жана теңсиздиктердин тууралыгын текшерүү үчүн радиусу бирдей болгон тригонометриялык тегерек колдонулат.
• Тригонометриялык теңдемелердин мисалдары:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2син 2x + cos x = 1.

1. Тригонометриялык тегерек, радиусу бир (тегерек бирдик).
   • Бул бир чекитке барабар болгон жана О чекитинде борбору бар тегерек. Бирдиктин айланасы "х" өзгөрмөсүнүн 4 негизги тригонометриялык функциясын сүрөттөйт, мында "х" - X огунун оң багытынан сааттын жебесине каршы өлчөнгөн бурч.
   • Эгерде "x" бирдиктин тегерегиндеги кандайдыр бир бурч болсо, анда:
   • Горизонталдык огу OAx F (x) = cos x функциясын аныктайт.
   • OBy вертикалдуу огу F (x) = sin x функциясын аныктайт.
   • AT тик огу F (x) = tan x функциясын аныктайт.
   • Горизонталдык огу BU F (x) = ctg x функциясын аныктайт.

• Бирдиктин тегерекчеси негизги тригонометриялык теңдемелерди жана теңсиздиктерди чечүү үчүн да колдонулат (анда "х" тин ар кандай позициялары каралат).

Кадамдар

1. 1 Тригонометриялык теңдемелерди чыгаруу түшүнүгү.
   • Тригонометриялык теңдемени чечүү үчүн аны бир же бир нече негизги тригонометриялык теңдемеге айландырыңыз. Тригонометриялык теңдемени чечүү акыры төрт негизги тригонометриялык теңдемени чечүүгө келет.
2. 2 Негизги тригонометриялык теңдемелерди чыгаруу.
   • Негизги тригонометриялык теңдемелердин 4 түрү бар:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Негизги тригонометриялык теңдемелерди чыгаруу бирдиктин тегерегиндеги ар түрдүү х позицияларын карап чыгууну жана конверсиялоо таблицасын (же эсептегичти) колдонууну камтыйт.
   • Мисал 1.sin x = 0.866. Которуу таблицасын (же эсептегичти) колдонуу менен сиз жооп аласыз: x = π / 3. Бирдиктин айланасы дагы бир жоопту берет: 2π / 3. Эсиңизде болсун: бардык тригонометриялык функциялар мезгилдүү, башкача айтканда, алардын мааниси кайталанат. Мисалы, sin x жана cos x мезгилдүүлүгү 2πn, tg x жана ctg x мезгилдүүлүгү πn. Ошондуктан, жооп төмөнкүчө жазылат:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Мисал 2.cos x = -1/2. Которуу таблицасын (же эсептегичти) колдонуп, сиз жооп аласыз: x = 2π / 3. Бирдиктин айланасы дагы бир жоопту берет: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Мисал 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Жооп: x = π / 4 + πn.
   • Мисал 4. ctg 2x = 1.732.
   • Жооп: x = π / 12 + πn.
3. 3 Тригонометриялык теңдемелерди чечүү үчүн колдонулган трансформациялар.
   • Тригонометриялык теңдемелерди трансформациялоо үчүн алгебралык трансформациялар (факторизация, бир тектүү терминдердин кыскарышы ж. Б.) Жана тригонометриялык иденттүүлүк колдонулат.
   • Мисал 5. Тригонометриялык иденттүүлүктөрдү колдонуу менен sin x + sin 2x + sin 3x = 0 теңдемеси 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 теңдемесине айланат. Ошентип, сиз төмөнкү негизги тригонометриялык теңдемелерди чеч: cos x = 0; күнөө (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Функциялардын белгилүү баалуулуктарынан бурчтарды табуу.
   • Тригонометриялык теңдемелерди чечүүнүн ыкмаларын үйрөнүүдөн мурун, функциялардын белгилүү баалуулуктарынан бурчтарды табууну үйрөнүшүңүз керек. Бул которуу столун же калькулятордун жардамы менен жасалышы мүмкүн.
   • Мисалы: cos x = 0.732. Калькулятор x = 42.95 градус жооп берет. Бирдик тегерек кошумча бурчтарды берет, анын косинусу да 0.732.
5. 5 Чечимди бирдиктин тегерегине бөлүңүз.
   • Сиз бирдиктин тегерегиндеги тригонометриялык теңдеменин чечимдерин кийинкиге калтырсаңыз болот. Бирдиктүү чөйрөдөгү тригонометриялык теңдеменин чечимдери кадимки көп бурчтуктун чокулары болуп саналат.
   • Мисал: Бирдиктин тегерегиндеги x = π / 3 + πn / 2 чечимдери квадраттын чокулары.
   • Мисал: Бирдик чөйрөсүндөгү x = π / 4 + πn / 3 чечимдери үзгүлтүксүз алты бурчтуктун чокуларын билдирет.
6. 6 Тригонометриялык теңдемелерди чыгаруу методдору.
   • Эгерде берилген триг теңдемеси бир гана триггер функциясын камтыса, ал теңдөөнү негизги триг теңдемеси катары чечиңиз.Эгерде берилген теңдеме эки же андан көп тригонометриялык функцияларды камтыса, анда мындай теңдемени чыгаруунун 2 ыкмасы бар (аны трансформациялоо мүмкүнчүлүгүнө жараша).
     • Метод 1.
   • Бул теңдемени төмөнкүдөй формулага айлантыңыз: f (x) * g (x) * h (x) = 0, мында f (x), g (x), h (x) негизги тригонометриялык теңдемелер.
     
     
   • Мисал 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Чечим. Sin 2x = 2 * sin x * cos x кош бурчтуу формуланы колдонуу менен sin 2x алмаштырыңыз.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Эми эки негизги тригонометриялык теңдемени чеч: cos x = 0 жана (sin x + 1) = 0.
   • Мисал 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Чечими: Тригонометриялык иденттүүлүктү колдонуу менен, бул теңдемени түрдөгү теңдемеге айландырыңыз: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Эми эки негизги тригонометриялык теңдемени чечиңиз: cos 2x = 0 жана (2cos x + 1) = 0.
   • Мисал 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Чечими: Тригонометриялык иденттүүлүктү колдонуп, бул теңдемени түрдөгү теңдемеге айлантыңыз: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Эми эки негизги тригонометриялык теңдемени чечиңиз: cos 2x = 0 жана (2sin x + 1) = 0.
     • Метод 2.
   • Берилген тригонометриялык теңдемени бир гана тригонометриялык функцияны камтыган теңдемеге айландырыңыз. Андан кийин бул тригонометриялык функцияны белгисиз, мисалы, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t ж.б.) менен алмаштырыңыз.
   • Мисал 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Чечим. Бул теңдемеде (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) менен алмаштырыңыз (иденттүүлүгү боюнча). Трансформацияланган теңдеме:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin xти t менен алмаштыр. Теңдеме азыр мындай көрүнөт: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Бул эки тамыры бар квадрат теңдеме: t1 = -1 жана t2 = 9/5. Экинчи t2 тамыры (-1 sin x 1) функциясынын маанилеринин диапазонун канааттандырбайт. Эми чечиңиз: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Мисал 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Чечим. Tg x менен t менен алмаштырыңыз. Теңдемени төмөнкүчө кайра жазыңыз: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Эми t = tg x үчүн xти табыңыз.
7. 7 Атайын тригонометриялык теңдемелер.
   • Конкреттүү өзгөртүүлөрдү талап кылган бир нече атайын тригонометриялык теңдемелер бар. Мисалдар:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Тригонометриялык функциялардын мезгилдүүлүгү.
   • Жогоруда айтылгандай, бардык тригонометриялык функциялар мезгилдүү, башкача айтканда, алардын мааниси белгилүү бир мезгилден кийин кайталанат. Мисалдар:
     • F (x) = sin x функциясынын периоду 2π.
     • F (x) = tan x функциясынын мезгили πге барабар.
     • F (x) = sin 2x функциясынын мезгили π.
     • F (x) = cos (x / 2) функциясынын мезгили 4π.
   • Эгерде көйгөйдө мезгил көрсөтүлгөн болсо, анда бул мезгил ичинде "x" маанисин эсептеңиз.
   • Эскертүү: Тригонометриялык теңдемелерди чыгаруу оңой иш эмес жана көп учурда каталарга алып келет. Андыктан жоопторуңузду кылдат текшериңиз. Бул үчүн сиз графикалык калькуляторду колдонуп, R (x) = 0 теңдемесин түзө аласыз. Мындай учурларда чечимдер ондук бөлчөк катары берилет (б.а. 3. 3.14 менен алмаштырылат).