Мазмун

• Басуу

Тригонометриялык теңдеме - өзгөрүлмө тригонометриялык ийри сызыктын бир же бир нече тригонометриялык функциясы бар теңдеме. Х үчүн чечүү тригонометриялык функциялар тригонометриялык теңдеме туура болгон тригонометриялык ийри сызыктардын маанилерин табууну билдирет.

• Чечим ийри сызыктарынын жооптору же мааниси градус же радиан менен көрсөтүлөт. Мисалдар:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 градус; x = 37,12 градус; x = 178,37 градус

• Эскертүү: бирдик чөйрөсүндө каалаган ийри сызыктын тригонометриялык функциялары тиешелүү бурчтун тригонометриялык функцияларына барабар. Бирдик чөйрөсү x өзгөрмө ийри сызыгынын бардык тригонометриялык функцияларын аныктайт. Ошондой эле негизги тригонометриялык теңдемелерди жана теңсиздиктерди чечүүдө далил катары колдонулат.
• Тригонометриялык теңдемелердин мисалдары:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2күн 2х + cos x = 1.

1. Бирдик чөйрөсү.
   • Бул Radius = 1 болгон тегерек, мында O - келип чыгышы. Бирдик чөйрөсү x өзгөрмөсүнүн ийри сызыгынын 4 негизги тригонометриялык функциясын аныктайт, ал сааттын жебесине каршы айланат.
   • X мааниси бар ийри сызык бирдиктин чөйрөсүндө өзгөргөндө:
   • OAx горизонталдык огу тригонометриялык функцияны аныктайт f (x) = cos x.
   • OBy тик огу тригонометриялык функцияны f (x) = sin x аныктайт.
   • AT тик огу тригонометриялык функцияны f (x) = tan x аныктайт.
   • BU горизонталдык огу тригонометриялык функцияны f (x) = cot x аныктайт.

• Бирдик чөйрөсү, ошондой эле айлананын х ийрисинин ар кандай абалын эске алуу менен негизги тригонометриялык теңдемелерди жана стандарттуу тригонометриялык теңсиздиктерди чечүү үчүн колдонулат.

Басуу

1. Чечүү ыкмасын түшүнүү.
   • Тригонометриялык теңдемени чечүү үчүн аны бир же бир нече негизги тригонометриялык теңдемелерге айландырасыз. Тригонометриялык теңдемелерди чечүү акырында 4 негизги тригонометриялык теңдемелерди чечүүгө алып келет.
2. Негизги тригонометриялык теңдемелерди чыгарууну билүү.
   • 4 негизги тригонометриялык теңдеме бар:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; төшөк x = a
   • Негизги тригонометриялык теңдемелерди тригонометриялык айланадагы х ийрисинин ар кандай абалын изилдөө жана тригонометриялык конверсиялык таблицаны (же калькулятор) колдонуу менен чечсе болот. Ушул жана ушул сыяктуу негизги тригонометриялык теңдемелерди кантип чечүү керектигин толук түшүнүү үчүн төмөнкү китепти окуңуз: "Тригонометрия: Тригонометриялык теңдемелерди жана теңсиздиктерди чечүү" (Amazon E-book 2010).
   • Мисал 1. sin x = 0.866 үчүн чечилет. Конверсиялык таблица (же калькулятор) жооп берет: x = Pi / 3. Тригонометриялык айлана дагы бир ийри сызыкты (2Pi / 3) синус үчүн ушундай мааниге ээ кылат (0.866). Тригонометриялык чөйрө кеңейтилген жооптор деп аталган жооптордун чексиздигин камсыз кылат.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, жана x2 = 2Pi / 3. (Бир мезгил ичиндеги жооптор (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, жана x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Толук жооптор).
   • Мисал 2. Чечүү: cos x = -1/2. Калькуляторлор x = 2 Pi / 3 берет. Тригонометриялык айлана дагы x = -2Pi / 3 берет.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, жана x2 = - 2Pi / 3. (Мезгил үчүн жооптор (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, жана x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Кеңейтилген жооптор)
   • Мисал 3. Чечүү: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Жооп)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Кеңейтилген жооп)
   • Мисал 4. Чечүү: керебет 2x = 1.732. Калькуляторлор жана тригонометриялык айлана төмөнкүлөрдү берет:
   • x = Pi / 12; (Жооп)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Кеңейтилген жооптор)
3. Тригонометриялык теңдемелерди чечүүдө колдонулган өзгөртүүлөрдү үйрөнүңүз.
   • Берилген тригонометриялык теңдемени стандарттуу тригонометриялык теңдемелерге өткөрүү үчүн стандарттуу алгебралык өзгөртүүлөрдү (факторизация, жалпы фактор, полиномдор ...), тригонометриялык функциялардын аныктамаларын жана касиеттерин жана тригонометриялык идентификацияны колдонуңуз. Болжол менен 31, 14ү тригонометриялык идентификациялар, 19дан 31ге чейин, трансформация идентификациясы деп да аталат, анткени алар тригонометриялык теңдемелерди которууда колдонулат. Жогорудагы китепти караңыз.
   • 5-мисал: Тригонометриялык теңдеме: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тригонометриялык идентификацияны колдонуп, негизги тригонометриялык теңдемелердин көбөйтүмүнө айландырса болот: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Негизги тригонометриялык теңдемелерди чечүү керек: cos x = 0; күнөө (3x / 2) = 0; жана cos (x / 2) = 0.
4. Тригонометриялык функциялар белгилүү болгон ийри сызыктарды тап.
   • Тригонометриялык теңдемелерди чыгарууну үйрөнүүдөн мурун, тригонометриялык функциялар белгилүү болгон ийри сызыктарды кантип тез табууну билүү керек. Ийри сызыктардын (же бурчтардын) конверсия маанилерин тригонометриялык таблицалар же калькулятор аркылуу аныктоого болот.
   • Мисалы: cos x = 0.732 үчүн чечүү. Калькулятор эритмени x = 42.95 градуска берет. Бирдик чөйрөсү косинус үчүн ушундай мааниге ээ башка ийри сызыктарды берет.
5. Жооптун жаасын бирдиктин тегерегине тартыңыз.
   • Чечимди бирдиктин чөйрөсүндө чагылдыруу үчүн график түзсө болот. Бул ийри сызыктардын акыркы чекиттери тригонометриялык айланадагы кадимки көп бурчтуктар. Айрым мисалдар:
   • Ийри сызыктын акыркы чекиттери x = Pi / 3 + k.Pi / 2 бирдиктин тегерегиндеги чарчы.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 ийри сызыктары бирдиктин тегерегиндеги алты бурчтуктун координаттары менен чагылдырылган.
6. Тригонометриялык теңдемелерди чечүүнү үйрөнүңүз.
   • Эгерде берилген тригонометриялык теңдемеде бир гана тригонометриялык функция болсо, анда аны стандарттуу тригонометриялык теңдеме катары чыгар. Эгерде берилген теңдеме эки же андан көп тригонометриялык функцияны камтыса, анда теңдемени которуунун варианттарына жараша, чечүүнүн 2 ыкмасы бар.
     • A. 1-ыкма.
   • Тригонометриялык теңдемени түрдөгү көбөйтүүчүгө айландырыңыз: f (x) .g (x) = 0 же f (x) .g (x) .h (x) = 0, мында f (x), g (x) жана h (x) - бул негизги тригонометриялык теңдемелер.
   • Мисал 6. Чечүү: 2cos x + sin 2x = 0 (0 x 2Pi)
   • Solution. Аныктыкты колдонуп, теңдемеде sin 2x дегендин ордун алмаштырыңыз: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Андан кийин 2 стандарттуу тригонометриялык функцияны чеч: cos x = 0, жана (sin x + 1) = 0.
   • Мисал 7. Чечүү: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Чечим: Тригонометриялык иденттүүлүктү колдонуп, аны көбөйткүчкө айландырыңыз: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Эми 2 негизги тригонометриялык теңдемелерди чыгарыңыз: cos 2x = 0 жана (2cos x + 1) = 0.
   • Мисал 8. Чечүү: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Чечим: Тригонометриялык иденттүүлүктү колдонуп, аны көбөйткүчкө айландырыңыз: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Эми 2 негизги тригонометриялык теңдемелерди чыгарыңыз: cos 2x = 0 жана (2sin x + 1) = 0.
     • B. 2-ыкма.
   • Триг теңдемесин триг теңдемесине өзгөрмө катары бир гана уникалдуу триг функциясы менен которот. Ылайыктуу өзгөрмөнү тандоо боюнча бир нече кеңеш бар. Жалпы өзгөрүлмөлүүлөр: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t жана tan (x / 2) = t.
   • Мисал 9. Чечүү: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Solution. Теңдемеде (cos ^ 2x) (1 - sin ^ 2x) менен алмаштырып, теңдемени жөнөкөйлөтүңүз:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Эми sin x = t колдонуңуз. Барабардык: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Бул 2 тамыры бар квадраттык теңдеме: t1 = -1 жана t2 = 9/5. Экинчи t2ни четке кага алабыз, анткени> 1. Эми төмөнкүнү чеч: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Мисал 10. Чечүү: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Solution. Tan x = t колдонуңуз. Берилген теңдемени өзгөрүлмө катары t болгон теңдемеге айландырыңыз: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Бул көбөйтүндүдөн t үчүн чечип, андан кийин x үчүн t = t стандарттуу тригонометриялык теңдемесин чыгарыңыз.
7. Атайын тригонометриялык теңдемелерди чечүү.
   • Айрым конверсияларды талап кылган бир нече атайын тригонометриялык теңдемелер бар. Мисалдар:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Тригонометриялык функциялардын мезгилдик касиеттерин үйрөнүңүз.
   • Бардык тригонометриялык функциялар мезгилдүү, демек, алар бир мезгил ичинде айлангандан кийин бирдей мааниге кайтып келишет. Мисалдар:
     • F (x) = sin x функциясы мезгил катары 2Piге ээ.
     • F (x) = tan x функциясы период катары Piге ээ.
     • F (x) = sin 2x функциясы период катары Piге ээ.
     • F (x) = cos (x / 2) функциясы мезгил катары 4Piге ээ.
   • Эгерде көнүгүүлөрдө / тестте мезгил көрсөтүлгөн болсо, анда сиз ушул мезгилдин ичинде x ийилген жерин (ээлерин) табышыңыз керек.
   • ЭСКЕРТҮҮ: Тригонометриялык теңдемелерди чечүү татаал жана көп учурда жаңылыштыктарга алып келет. Ошондуктан, жооптор кылдаттык менен текшерилиши керек. Чечүүдөн кийин, берилген графиктик калькулятордун жардамы менен R (x) = 0 тригонометриялык теңдемесин түз чагылдыруу үчүн жоопторду текшерүүгө болот. Жооптор (квадрат тамыры түрүндө) ондук орундарда берилген. Мисал катары, Pi 3.14 маанисине ээ