Мазмун

• Кадамдар
• 3 методу 1: Кубдук теңдемени туруктуу мүчөсү жок кантип чечсе болот
• Метод 2 3: Мультипликаторлорду колдонуу менен кантип бүт тамырларды табууга болот
• 3 методу 3: Дискриминантты колдонуу менен теңдемени кантип чыгаруу керек

Кубдук теңдемеде эң жогорку көрсөткүч 3, мындай теңдеменин 3 тамыры (чечимдери) бар жана анын формасы бар ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Кээ бир кубдук теңдемелерди чечүү оңой эмес, бирок эгер сиз туура ыкманы колдонсоңуз (жакшы теориялык фону менен), сиз эң татаал кубдук теңдеменин тамырын да таба аласыз - бул үчүн квадрат теңдемени чечүү формуласын колдонуңуз. бүт тамырлар, же дискриминантты эсептөө.

Кадамдар

3 методу 1: Кубдук теңдемени туруктуу мүчөсү жок кантип чечсе болот

1. 1 Куб теңдемесинде бекер мөөнөт бар экенин билип алыңыз г{ Displaystyle d}. Кубдук теңдеме формасына ээ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Теңдеме куб катары каралышы үчүн, бир гана мүчөсү жетиштүү ${ Displaystyle x ^ {3}}$ (башкача айтканда таптакыр башка мүчөлөрү жок болушу мүмкүн).
   • Эгерде теңдемеде эркин мөөнөт бар болсо ${ Displaystyle d}$, башка ыкманы колдонуңуз.
   • Эгерде теңдемеде ${ Displaystyle a = 0}$, бул куб эмес.
2. 2 Кашаадан алыңыз x{ Displaystyle x}. Теңдемеде эркин мөөнөт жок болгондуктан, теңдемедеги ар бир термин өзгөрмөнү камтыйт ${ Displaystyle x}$... Бул дегенди билдирет ${ Displaystyle x}$ теңдемени жөнөкөйлөтүү үчүн кашаанын ичинен алынып салынышы мүмкүн. Ошентип, теңдеме мындай жазылат: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Мисалы, кубдук теңдеме берилген ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Алып чыгып ${ Displaystyle x}$ кашаалар жана алуу ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Фактор (эки биномдун продуктусу) квадрат теңдемеси (мүмкүн болсо). Форманын көптөгөн квадрат теңдемелери ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ факторлоштурууга болот. Биз алып чыксак мындай теңдеме чыгат ${ Displaystyle x}$ кашаанын сыртында. Биздин мисалда:
   • Кашаадан алыңыз ${ Displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Квадрат теңдеменин фактору: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Ар бир урнаны бирдей кылыңыз ${ Displaystyle 0}$... Бул теңдеменин тамыры ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Атайын формуланын жардамы менен квадрат теңдемени чыгарыңыз. Муну квадрат теңдемени факторизациялоо мүмкүн болбосо жасаңыз. Теңдеменин эки тамырын, коэффициенттеринин маанилерин табуу үчүн ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ формулада алмаштыруу ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Биздин мисалда коэффициенттердин маанилерин алмаштырыңыз ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ (${ Displaystyle 3}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle 14}$) формула боюнча:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ Displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Биринчи тамыр:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Экинчи тамыр:

     ${ Displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Куб теңдемесине чечим катары нөл жана квадрат тамырларды колдонуңуз. Квадрат теңдемелердин эки тамыры бар, ал эми кубдуктардын үчөө бар. Сиз буга чейин эки чечимди таптыңыз - булар квадрат теңдеменин тамыры. Эгер кашаанын сыртына "x" койсоңуз, үчүнчү чечим болмок ${ Displaystyle 0}$.
   • Эгер кашаадан "x" алып салсаңыз, аласыз ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$башкача айтканда, эки фактор: ${ Displaystyle x}$ жана кашаанын ичиндеги квадрат теңдеме. Эгерде бул факторлордун бири болсо ${ Displaystyle 0}$, бүтүндөй теңдеме да барабар ${ Displaystyle 0}$.
   • Ошентип, квадрат теңдеменин эки тамыры - кубдук теңдеменин чечимдери. Үчүнчү чечим - бул ${ Displaystyle x = 0}$.

Метод 2 3: Мультипликаторлорду колдонуу менен кантип бүт тамырларды табууга болот

1. 1 Куб теңдемесинде бекер мөөнөт бар экенин тактаңыз г{ Displaystyle d}. Эгерде формадагы теңдемеде ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ бекер мүчөсү бар ${ Displaystyle d}$ (нөлгө барабар эмес), кашаанын сыртына "x" коюу иштебейт. Бул учурда, ушул бөлүмдө айтылган ыкманы колдонуңуз.
   • Мисалы, кубдук теңдеме берилген ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Теңдеменин оң жагында нөл алуу үчүн, кошуңуз ${ Displaystyle 6}$ теңдеменин эки тарабына тең.
   • Теңдеме чыгат ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... As ${ Displaystyle d = 6}$, Биринчи бөлүмдө сүрөттөлгөн ыкманы колдонуу мүмкүн эмес.
2. 2 Коэффициенттин факторлорун жазыңыз а{ Displaystyle a} жана эркин мүчөсү г{ Displaystyle d}. Башкача айтканда, санынын факторлорун табыңыз ${ Displaystyle x ^ {3}}$ жана барабар белгинин алдындагы сандар. Эске салсак, сандын факторлору көбөйтүлгөндө ошол санды чыгаруучу сандар.
   • Мисалы, номерди алуу үчүн 6, көбөйтүү керек ${ Displaystyle 6 times 1}$ жана ${ Displaystyle 2 times 3}$... Ошентип, сандар 1, 2, 3, 6 сан факторлору болуп саналат 6.
   • Биздин теңдемеде ${ Displaystyle a = 2}$ жана ${ Displaystyle d = 6}$... Мультипликаторлор 2 болуп саналат 1 жана 2... Мультипликаторлор 6 сандар болуп саналат 1, 2, 3 жана 6.
3. 3 Ар бир факторду бөлүңүз а{ Displaystyle a} ар бир фактор үчүн г{ Displaystyle d}. Натыйжада, сиз көптөгөн фракцияларды жана бир нече бүтүн сандарды аласыз; кубдук теңдеменин тамыры бүтүн сандардын бири же бүтүн сандардын биринин терс мааниси болот.
   • Биздин мисалда факторлорду бөлүңүз ${ Displaystyle a}$ (1 жана 2) факторлор боюнча ${ Displaystyle d}$ (1, 2, 3 жана 6). Сиз аласыз: ${ Displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$ жана ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Эми алынган тизмектерге алынган сандардын жана сандардын терс маанилерин кошуңуз: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ жана ${ Displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Кубдук теңдеменин бүт тамырлары бул тизмедеги кээ бир сандар.
4. 4 Бүтүн сандарды кубдук теңдемеге туташтырыңыз. Эгерде теңдик чын болсо, алмаштырылган сан теңдеменин тамыры болуп саналат. Мисалы, теңдемеде алмаштыруу ${ Displaystyle 1}$:
   • ${ Displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, башкача айтканда, теңдик сакталган эмес. Бул учурда, кийинки номерди туташтырыңыз.
   • Алмаштыруучу ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Ошентип, ${ Displaystyle -1}$ теңдеменин бүт тамыры болуп саналат.
5. 5 Полиномдарды бөлүү ыкмасын колдонуңуз Хорнердин схемасытеңдеменин тамырын тезирээк табуу үчүн. Санды теңдемеге кол менен алмаштыргыңыз келбесе, муну жасаңыз. Хорнердин схемасында бүтүн сандар теңдеменин коэффициенттеринин маанилерине бөлүнөт ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ жана ${ Displaystyle d}$... Эгерде сандар бирдей бөлүнсө (башкача айтканда, калганы ${ Displaystyle 0}$), бүтүн сан теңдеменин тамыры болуп саналат.
   • Хорнердин схемасы өзүнчө макалага татыктуу, бирок төмөндө бул схеманы колдонуу менен кубдук теңдемебиздин тамырларынын бирин эсептөөнүн мисалы келтирилген:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Ошентип, калган ${ Displaystyle 0}$, бирок ${ Displaystyle -1}$ теңдеменин тамырларынын бири болуп саналат.

3 методу 3: Дискриминантты колдонуу менен теңдемени кантип чыгаруу керек

1. 1 Теңдеменин коэффициенттеринин маанилерин жазыңыз а{ Displaystyle a}, б{ Displaystyle b}, в{ Displaystyle c} жана г{ Displaystyle d}. Келечекте чаташтырбоо үчүн көрсөтүлгөн коэффициенттердин маанилерин алдын ала жазып алууну сунуштайбыз.
   • Мисалы, теңдеме берилген ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Жазып алуу ${ Displaystyle a = 1}$, ${ Displaystyle b = -3}$, ${ Displaystyle c = 3}$ жана ${ Displaystyle d = -1}$... Эске салсак, эгер мурда ${ Displaystyle x}$ саны жок, тиешелүү коэффициент дагы эле бар жана барабар ${ Displaystyle 1}$.
2. 2 Атайын формуланын жардамы менен нөл дискриминантты эсептөө. Дискриминантты колдонуу менен кубдук теңдемени чечүү үчүн бир катар татаал эсептөөлөрдү жүргүзүү керек, бирок эгер сиз бардык кадамдарды туура аткарсаңыз, бул ыкма эң татаал кубдук теңдемелерди чечүү үчүн зарыл болуп калат. Биринчи эсептөө ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (нөл дискриминант) - бул бизге керек болгон биринчи баалуулук; Бул үчүн формулада тиешелүү маанилерди алмаштырыңыз ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Дискриминант - полиномдун тамырын мүнөздөгөн сан (мисалы, квадрат теңдеменин дискриминанты формула боюнча эсептелет) ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Биздин теңдемеде:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Формула аркылуу биринчи дискриминантты эсептеңиз Δ1=2б3−9абв+27а2г{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Биринчи дискриминант ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - бул экинчи маанилүү баалуулук; аны эсептөө үчүн, тиешелүү формуланы тиешелүү формулага туташтырыңыз.
   • Биздин теңдемеде:

     ${ Displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Эсептөө:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Башкача айтканда, алынган баалуулуктар аркылуу кубдук теңдеменин дискриминантын табыңыз ${ displaystyle Delta _ {0}}$ жана ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Эгерде кубдук теңдеменин дискриминанты оң болсо, теңдеменин үч тамыры бар; эгер дискриминант нөл болсо, теңдеменин бир же эки тамыры бар; эгер дискриминант терс болсо, теңдеменин бир тамыры бар.
   • Куб теңдемесинин ар дайым жок дегенде бир тамыры болот, анткени бул теңдеменин графиги X огу менен жок дегенде бир чекитте кесилишет.
   • Биздин теңдемеде ${ displaystyle Delta _ {0}}$ жана ${ displaystyle Delta _ {1}}$ барабар ${ Displaystyle 0}$, ошондуктан сиз оңой эле эсептей аласыз ${ Displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ Displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ Displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Ошентип, биздин теңдемебиздин бир же эки тамыры бар.

5. 5 Эсептөө:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } оң) div 2}}}$. ${ Displaystyle C}$ - бул табыла турган акыркы маанилүү сан; бул теңдеменин тамырын эсептөөгө жардам берет. Белгиленген формулага баалуулуктарды алмаштырыңыз ${ displaystyle Delta _ {1}}$ жана ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Биздин теңдемеде:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle 0 = C}$

6. 6 Теңдеменин үч тамырын табыңыз. Формула менен жасаңыз ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, кайда ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, бирок п барабар 1, 2 же 3... Тийиштүү баалуулуктарды бул формулага алмаштырыңыз - натыйжада теңдеменин үч тамырын аласыз.
   • Формуланы колдонуп маанини эсептеңиз п = 1, 2 же 3анан жоопту текшериңиз. Эгерде сиз жоопту текшергенде 0 алсаңыз, бул теңдеменин тамыры.
   • Биздин мисалда, алмаштыруу 1 ичинде ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ жана алуу 0, башкача айтканда 1 теңдеменин тамырларынын бири болуп саналат.